自作聪明的小猴 趣味数学答案(狡猾的狐狸和聪明的小猴和小兔)
我国古代人民用干支纪年其中十二地支对应十二种动物称为十二生肖十二生肖涉及到人民生活的方方面面形成了源远流长的生肖文化在许多趣味数学问题中也有不少是与十二生肖相联系的辑录起来也是一件趣事
一老鼠穿墙问题
我国古代最重要的数学著作九章算术中有一个有趣的老鼠穿墙问题大意如下
现有墙厚5尺两只老鼠分别在墙两边正对着打洞第一天大小老鼠各打洞1尺以后大鼠每天的进度比前一天增加一倍小鼠每天的进度只有前一天的一半问几天两鼠相遇
这是九章算术第七章中的第12题该章专门讨论盈不足问题盈不足术是我国古代一种独特的算法在数学的发展史上占有重要的地位对后世数学的发展也产生过重要影响从方法论的角度看盈不足方法蕴含着模型化方法化归方法以及近似逼近等方法本题就是通过盈不足术给出模型再用逼近的方法求得解答的近似值的如果要用现代数学的方法可以利用等比级数列列出方程再求根的近似值
二牛吃草问题
例如著名数学家阿基米德和牛顿都编制过与牛有关的趣味数学问题牛顿提出了一个牛吃草的问题
有三个牧场场里的草长的一样密也长的一样快它们的面积分别是103英亩10英亩和24英亩第一个牧场饲养12头牛可以维持4个星期第二个牧场饲养21头牛可以维持9个星期如果第三个牧场要维持18个星期这个牧场应该饲养多少头牛
这个问题有多种解法可是牛顿却特别喜欢他的算术解法
至于阿基米德的牛群问题是由22组对偶句组成的长诗它于1773年在一本希腊手抄本中发现
三老虎与狐狸
人们都很熟悉狐假虎威的寓言但是老虎毕竟不是吃素的一旦识破狐狸的诡计必将毫不容情地捕杀狐狸于是便有了下面这道数学趣题
一只老虎发现离它10米远的地方有一只狐狸马上扑了过去老虎跑7步的距离狐狸要跑11步但狐狸的频率快老虎跑3步的时间狐狸能跑4步问老虎能不能追上狐狸如果能追上老虎要跑多少米
老虎跑66米就能追上狐狸有趣之处在于我们不知道老虎和狐狸的速度却能得到问题的答案
四饿狼扑兔
斐波那契数列最初就是用兔子的繁殖问题为背景编成的趣味数学问题后来发展成了重要的数学分支
欧洲文艺复兴时期著名的艺术大师达芬奇提出了一个有趣的饿狼扑兔问题
如图2C点是一个兔子洞一只兔子正在洞口南面60米的地方O点处觅食一只饿狼正在兔子正东方向100米处的A点游荡兔子猛然回首碰见了饿狼那贪婪而凶残的目光预感大祸临头于是急忙掉头向自己的洞穴逃去说时迟那时快饿狼眼看即将到口的美食将要逃掉岂肯罢休马上以两倍于兔子的速度紧盯着兔子追去请问这只饿狼能逮住兔子吗
图1
这是一个很有趣的问题因为狼是始终紧盯着兔子追去的因此它会不断地改变运动的方向它跑的路线不是一条直线而是一条曲线当兔子安全进洞的时候狼离洞口还有差不多两米的距离眼睁睁看着兔子逃进洞里去了如果饿狼不是死死盯住兔子而是把眼光放远一点直奔洞口然后在洞口守株待兔兔子就难逃恶运
图2
五分形与龙
在自然界中有许多物体的形状和现象十分复杂崎岖的山岳走势纵横交错的江河流向蜿蜒曲折的海岸线奇形怪状的云层等等都是一种混沌现象这些事物的形状称为分形分形是前沿科学混沌科学的重要分支分形有两种类型一是几何分形二是随机分形我们知道直线是一维的正方形是二维的圆柱体是三维的而分形的维数却是一个分数下面这个称为龙的图形就是一个分形它是一位名叫JE亥威的物理学家首先发现的
这条曲线的作法是如图所示从一个等腰直角三角形开始以该等腰直角三角形的直角边为斜边作另外的等腰直角三角形并把原来直角三角形的斜边去掉再以新的等腰直角三角形的直角边为斜边作另一些等腰直角三角形并把原来的斜边去掉如此继续便会得到一条龙
六黑蛇进洞
在任何一本趣味数学读物中都不难找到印度古代公元9世纪数学家摩诃毗罗的黑蛇进洞问题
一条长80安古拉古印度长度单位的大黑蛇以十四分之五天爬七又二分之一安古拉的速度爬进一个洞而蛇尾每四分之一天却要长四分之十一安古拉请问黑蛇需要几天才能完全爬进洞
列出一元一次方程不难算出大黑蛇需要8天才能完全进洞
美国游戏数学杂志曾经提出过一个有趣的两头蛇数问题
有一个正整数N的首尾分别加上一个1得到一个新数如果新数是原数的99倍则称N为两头蛇数试求出N
你能找到这种数吗N就是一个两头蛇数
七千里马
韩愈说世有伯乐而后有千里马千里马常有而伯乐不常有在九章算术的盈不足章的第19题中我们就可以发现一匹千里马
今有良马与驽马发长安至齐齐去长安三千里良马处日行一百九十里日增十三里驽马初日行九十七里日减半里良马先至齐复还迎驽马问几何日相逢及各行几何
九章算术用盈不足术来解此题得到的是近似值如果用方程解要列一元二次方程取正根式解
如图所示一个马从P点出发能否跳13步到达对方九宫中的Q点
图3
在棋盘上建立直角坐标系设马的位置在点Px0y0处因为马走日字如图3所示马从O00出发每跳一步之后只能到达ABCDEFGH这8个点在每一个点两个坐标的和要么增加了3或3例如A3E3要么增加了1或1如C1G1总之是增加或减少了一个奇数连跳13步仍然是增加或减少了一个奇数P点两个坐标之和为213Q点两个坐标之和是4812两个坐标之和增加了99是奇数只要能想办法把它分成13个绝对值小于等于3的奇数之和就找到了一种跳法例如9333333333333就对应一种跳法请你试一试一共能找到几种跳法
至于连跳14步两坐标之和将增加一个偶数是无法从P跳到Q的
八百羊问题
明代数学家程大位15331606的算法统宗第十二卷载有百羊问题在国际上流传颇广这道题是用诗歌的形式写成的
甲赶群羊逐草茂乙拽肥羊一只随其后戏问甲及一百否甲云所说无差谬
若得这般一群羊再添半群小半群得你一只来方凑玄机奥妙谁猜透
大意是甲全部的羊加上一半半群再加上四分之一小半群再加上乙的一只羊恰好凑成一百只羊你知道甲有多少只羊吗
九五猴分桃
用猴子为对象的趣味数学问题很多特别有名的是下面的五猴分桃问题
有5只猴子在一个小岛上发现了一堆桃子它们想平均分配但无论如何也分不开天色已晚于是大家相约去睡觉明天再分夜里第一只猴子趁大家熟睡之际偷偷爬到桃子边先取一个吃了剩下的恰好可以平均分作5份这个猴子将其中一份藏了起来然后重新去睡觉过了一会第二只猴子又爬起来在剩下的桃子中取一个吃了剩下的也恰好可以平均分成5份它也将其中的一份藏起来然后去睡觉接着第三只第四只猴子都先后偷偷起来照此办理先吃掉一个然后把剩下的五份中的一份藏起来最后第五个猴子起来拿一个桃子吃了剩下的桃子仍然可以平均分成5份请问这堆桃子最少有多少只
这可算得上一道名题美国作家本艾姆斯威廉曽经把它写成一篇小说发表在1926年的周末晚报上美国著名数学科普作家马丁伽德纳不仅把它写进自己的著作里并称它不是一个简单的题目英国数理逻辑学家怀德海精心研究了这个问题并且提出了一种很简单的解法1979年春李政道博士访问中国科大又把这道题给少年班的大学生们做并鼓励大家寻求最简便的解法当年中国青年报详细地报道了这次访问并刊登了这道题目散见于书刊杂志的各种不同解法至少有十余种之多
与猴子有关的还有另一个猴子分花生问题
将1600颗花生分给100个猴子证明不管怎样分至少有4只猴子分得的花生一样多有的猴子分不到花生也算是一种分法并设计一种分法使得没有5只猴子分得的花生颗数一样多
这是五十年代北京市的一道数学竞赛试题以后流传很广
十百钱买百鸡
对于鸡有一个几乎是一个家喻户晓的趣味数学问题我国古代数学著作张邱建算经中有一道著名的百鸡问题
今有鸡翁一值钱五鸡母一值钱三鸡雏三值钱一凡百钱买鸡百只问鸡翁母雏各几何
这是一道关于不定方程的问题在国内外流传极广例如德国人约翰涅斯列曼写的一本趣味数学书中就有一个古代越南的数学问题
用100捆草喂100头牛站着的壮牛吃5捆躺着的牛吃3捆老牛三条合吃一捆问站着几条壮牛躺着几条牛几条老牛
这个问题显然是将百鸡问题移植过来的
十一来回奔跑的狗
甲乙两人从相距100公里的两地相对而行甲乙的速度分别为6公里和4公里甲带了一条狗与甲同时出发碰到乙时即回头向甲这边跑碰到甲时又回头往乙这边跑这样不停地往返直到甲乙二人相遇为止狗的速度为每小时10公里问狗一共跑了多少公里
这是在数学界广泛流传的一段数学家的趣闻逸事据说我国著名数学家苏步青有一次在德国的电车上碰到德国一位有名的数学家那位数学家请苏步青做这道题由于苏步青教授的名气题以人传这道题便广泛流传开了这道题其实并不难因为路程速度时间狗的速度每小时10公里是已知的狗奔跑的时间就是甲乙两人相遇的时间很容易算出来两人相对而行的行程问题速度和时间知道了路程也就知道了
十二买猪问题
九章算术中有一个买猪问题
今有共买豕人出一百盈一百人出九十适足问人数豕价各几何
这个问题太简单我想把它改造一下
某人去买猪若买一批每头价450元的小猪还剩100元若买一批每头价530元的小猪还差110元问此人最少带了多少钱去买猪
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